作者 ：刘洁民博士
摘要
1．数学证明的起源与欧几里得公理系统
2．非欧几何的挑战与反思
3．数理逻辑的早期发展
附录 数理逻辑预备知识
4．希尔伯特问题与希尔伯特纲领
5．哥德尔不完全性定理
6．哥德尔定理的历史地位
1931年，25岁的奥地利逻辑学家哥德尔（Kurt Gödel，1906～1978）发表论文《PM及有关系统中的形式不可判定命题》，其中的基本结果是：
一个包括初等数论的形式系统 P，如果是相容的，那么就是不完全的。这被称为第一不完全性定理。
如果这样的系统是相容的，那么其相容性在本系统中不可证明。这被称为第二不完全性定理。
这样的表述对很多读者来说犹如天书不知所云，有兴趣的读者通过数学工具书不难理解初等数论、形式系统、相容、完全（完备）这几个关键词的含义，从而理解上述两条定理的含义，但是要理解数学家为什么要研究这样的问题，以及这样的结果对数学、哲学乃至对人类文明究竟意味着什么，就要困难得多了。本文尝试对哥德尔不完全性定理的含义、背景、证明思路和意义给出初步和通俗的解说。
初等数论是运用初等方法、以整数（包括正整数、零和负整数）性质为主要研究对象的一个数学分支，是数学中最基本、最核心的领域之一。为了叙述简单，让我们首先把问题限制在初等数论范围内。那么哥德尔不完全性定理的两个结果，相当于说：第一，一定存在至少一个关于整数的命题，我们运用初等数论的全部方法和已知结果，都既不能证明它也不能推翻它。第二，从一些在我们看来显然正确的基本事实（例如1+1=2，以及，如果m和n是自然数（正整数），而且m+1=n+1，那么m=n）出发，借助基本运算（加减乘除）和每一步都确保严格的推理，我们无法保证不会推出一对互相矛盾的命题，或者一个自相矛盾的命题。
从根本意义上说，哥德尔不完全性定理是对数学的逻辑基础的一个判断，或者用更直白的说法，它是对数学真理性的一个判断。为了理解这个定理的含义及其重要性，我们需要从头说起。
1．数学证明的起源与欧几里得公理系统
众所周知，数学起源于遥远的古代，最简单的数学知识和方法在不同的时期发生在不同的地方，可能独立发生，也可能互相影响，绝大多数自生自灭，只有极少数地区的早期数学为后人所知，例如巴比伦、埃及、印度、中国和玛雅的古代数学。早期的数学知识和方法是古人由各种实践活动中的经验归纳而成，其主要用途也是为了解决当时的一些有关的实际问题，例如，按照希罗多德《历史》中的说法，古埃及人因为丈量土地学会了初步的几何知识；流传至今的古埃及数学纸草书和早期巴比伦泥板中，大部分问题都是关于整数和分数计算、比例算法以及面积体积计算的，对应于税收、商贸、土地丈量、建筑施工等现实问题。令人惊奇的是，早期巴比伦泥板中不仅包括了毕达哥拉斯定理（勾股定理）的应用，还出现了多组复杂的毕达哥拉斯三元数组（整勾股数），体现了某种后世所说的纯粹数学的旨趣。
早期数学的这种朴素、实用的风格，在公元前6世纪希腊人登上数学舞台之后发生了根本性的改变。希腊数学的早期发展与希腊历史中的两个重要方面密切相关：一是城邦制度，二是哲学学派。在城邦政治生活中，论辩术获得了发展，而哲学家致力于探索真理，不仅有赖于思辨能力，而且培育了理性精神。从根本上说，希腊的哲学、科学和数学是同源的，一体的。人们经常说科学起源于古希腊，实际上指的是自然哲学在古希腊的起源，它代表了希腊人对自然现象及其规律追根寻源的努力，其特征是对自然的实证探索与哲学思考，其本质是以理性精神对待世界。这种努力从一开始就试图在自然本身中寻找导致现象的原因，而不是寻求某种神秘意义或神秘原因，并且明确地追求具有普遍性的认识，而不是对每一个具体事件给出一个特殊的解释。与此同时，古希腊的自然哲学从一开始就与数学结缘，这使得他们开创了理论化的数学，不仅极大地推动了数学的发展，也使得他们的自然哲学具有明显的数学化特征。
希腊最早的数学家泰勒斯（Thales，约624～547 B.C.）曾游历埃及，熟悉埃及数学，测量过金字塔的高度，另一位早期数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约572～497 B.C.）年轻时曾在巴比伦生活过十几年，熟悉巴比伦数学，但是他们没有沿袭埃及人和巴比伦人那种仅仅将数学视为实用工具、基于经验归纳获得数学结果的传统。
泰勒斯开创了爱奥尼亚学派（也被称为米利都学派），是希腊历史上第一个哲学学派。泰勒斯最早明确提出数学命题需要证明，运用演绎方法最早证明了一批几何定理，包括“圆被任一直径二等分”、“等腰三角形的两底角相等”、“内接于半圆的角是直角”、“两个三角形，若有两角和一边对应相等，则全等”这样简单和基本的结果。这是使数学由经验上升到理论的最早努力，真正意义上的数学科学由此发端。
毕达哥拉斯同样开创了自己的学派，这个学派认为数学的本原就是一切存在物的本原，数学是人类认识宇宙的最重要的学问。他们对数与图形的性质做了很多研究，推进了数学命题的证明并且注意到其逻辑顺序。据历史记载，毕达哥拉斯本人证明了“直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积”这一著名定理（毕达哥拉斯定理），并由此导致了不可通约量的发现。另据记载，公元前5世纪，开奥斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios）最先在数学证明中提出了公理化思想，即先给出少数不加定义的原始概念（其含义被认为是不言自明的）和不加证明的原始假设（其正确性被认为是不证自明的），运用适当的逻辑方法定义新的概念、推出新的命题（定理）。
在此后的一百多年中，埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出了多个著名悖论，引发了对有限与无限、离散与连续、静止与运动、时间与空间等问题的深入思考；智者学派发展了论辩术并深入研究了几何三大难题；柏拉图（Plato，427～347 B.C.）学派较为全面地推进了当时的数学研究，包括对当时已经发现的不可通约量进行分类和研究，对五种正多面体的研究，发现并研究了圆锥曲线，发展公理化方法及证明方法；欧多克斯（Eudoxus，约408～355 B.C.）引入量的公理，用公理化方法重建比例理论，并且将早期的割圆术发展为更严格并具有一般性的穷竭法；亚里士多德（Aristotle，384～322 B.C.）进一步讨论了公理体系的性质，将无穷区分为潜无穷和实无穷，总结了前人论辩术的主要方法，建立了较为完备的古典逻辑体系，为此后的数学及哲学论证奠定了基础。
公元前300左右，欧几里得（Euclid，约 330～约 275 B.C.）较为全面地整理此前希腊数学的主要成果，他将圆锥曲线方面的内容写成了专著《圆锥曲线》（其主要内容被阿波罗尼斯（Apollonius，约 262～190 B.C.）收入了他的《圆锥曲线论》），将可以用直尺圆规作图处理的问题及其结果汇编在他的《原本》（Elements，Στοιχετα，意为基本要素）中。全书分为13篇，收入465个命题，其基本结构是选取少量原始概念和被认为不证自明的关于几何与量的原始假设（分别称为公设和公理），使之成为全部几何学（欧几里得的本意是全部数学）的出发点和逻辑依据，然后用原始概念定义其他概念，由原始假设通过逻辑推理证明其他命题，从而得到一系列几何（数学）定理，定理的编排既考虑了逻辑顺序，又是由简到繁的。这种结构就是后来所说的公理化结构。在第一篇开头部分，欧几里得给出了5条公设和5条公理，分别是：
公设
公设1．由任意一点到另外任意一点可以作直线。
公设2．一条有限直线可以任意延长。
公设3．以任一点为心中及任一距离为半径可以作圆。
公设4．所有直角都彼此相等。
公设5．同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后必相交于该侧的一点。
公理
公理1．与同一个量相等的一些量，它们彼此也是相等的。
公理2．等量加等量，总量仍相等。
公理3．等量减等量，余量仍相等。
公理4．彼此重合的东西是相等的。
公理5．整体大于部分。
《原本》是现存最早的用公理化方法写成的数学著作。由上述公设和公理，运用逻辑推理方法，不仅《原本》中的全部命题都获得了，从而使之形成了一个严谨清晰、井然有序的理论体系，而且通常意义上的初等几何问题都可以纳入这个体系。在《原本》中，欧几里得采用了欧多克斯关于量的公理，又基于人们对点、线、面和空间的直观经验设置了公设。后人通常不再区分公理和公设，并将原始假设统称为公理。在《原本》的公理系统中，点、线、面这些原始概念是先于几何公理给定的，这个系统中的几何公理仅对这样理解的点、线、面有效，而不能用来描述另外的对象。简略地说，《原本》中的公理体系有三个重要特征：第一，论域是先于公理给定的；第二，公理是为了刻画特定的论域，也就是说，公理所描述的论域是唯一的；第三，公理被认为是不证自明的。后人将这样的公理系统称为实质公理系统。
由于欧几里得选取的公设、公理被认为是不证自明的，其获得每个命题的推理过程又被认为是清晰严谨的，因此《原本》的全部内容都被认为是可靠的，成为后世数学理论著作的范本，对《原本》内容包括对其公理系统的研究又引发出许多新的问题和发现。《原本》中关于量的公理，与通常意义上的物理量的性质相一致，《原本》中关于几何对象的公设又基于人们对现实物理空间的直观经验，于是《原本》所描述的数学理论系统被认为真实反映了现实世界的数量关系与空间形式，代表了客观真理。可以说，《原本》确立了一种数学真理观，也为科学真理观奠定了基础，其影响从希腊时代一直持续到19世纪。
2．非欧几何的挑战与反思
尽管欧几里得《原本》赢得了巨大的声誉，但从希腊时代开始就一直有数学家试图进一步完善欧几里得的体系，例如阿基米德、托勒密、普罗克鲁等都作过这方面的尝试，其中最引人注目的是试证欧几里得第五公设（欧几里得平行公理。下文中凡提到第五公设时仍然称其为公设，其他的原始假设则统一称为公理）的努力。在19世纪以前，从未有人怀疑过这条公设的正确性，但很多人认为它的表述过于复杂，更像一条定理，应该可以从《原本》的其他公理、公设中推导出来。从公元前3世纪到18世纪，很多数学家都曾经尝试过证明第五公设，但所有被宣布完成的证明，都被发现其中引用了与其等价的某种假设，于是人们获得了第五公设的大量等价命题。于是数学家尝试使用反证法（也经常被说成间接证法），即：根据排中律，如果由与第五公设相矛盾的假设出发，基于欧几里得其他的公设和公理，运用规范的逻辑推理方法，最终推出明显错误的结果，就证明第五公设是正确的。由于已经知道了第五公设的很多等价命题，只要证明其中一个就可以了。例如，第五公设最流行的等价命题之一是：平面内过已知直线外一点，能且仅能作一条平行线。与其相矛盾的有两种情形：第一种是过该点不存在平行线，第二种是过该点存在两条或更多平行线。如果从这两种情形都能推出明显的错误，原命题就被证明了。
1733年，意大利数学家萨开里（Girolamo Saccheri，1667～1733）出版了《排除任何谬误的欧几里得》，在其中他以阿拉伯数学家曾经使用过的一个四边形作为出发点。
给定线段AB，分别作AB的垂线AD和BC并使AD=BC。作连线CD。容易证明∠C=∠D，由它们是直角就可以证明第五公设，于是需要分别从它们是钝角和锐角推出矛盾。
依据钝角假设和欧几里得的其他九条公理、公设，萨开里很容易地导出了矛盾，因此，它被推翻了。从锐角假设出发，萨开里获得了很多有趣的结果，但并未得到明显的矛盾。其中包括这样的结果：给定一点 A与一直线 b，在过 A的直线束中，有两条直线 p与 q，把直线束分成两部分，第一部分包含与 b相交的那些直线，第二部分包含的那些直线不与 b相交（在α角里面），并将在 b上某处和 b有公共垂线。直线 p与 q本身都渐近于b 。萨开里最终推出了这样一个结果，即p与 b在无穷远的公共点处必将有一条公垂线。虽然他没有得到任何矛盾，但这个结论看来是太不合情理了，于是他断言锐角假设必然是不真实的，于是他宣布证明了第五公设。
从后世的眼光看，萨开里并没有证明第五公设，他基于锐角假设推出的所有结果（包括他认为不可能真实的最后一个结果）都没有导致矛盾，它们都是后来的双曲几何中的定理，萨开里也因此被认为是双曲几何的主要先驱者之一。此后还有多位数学家为双曲几何的建立做出了贡献。
从19世纪初至19世纪20年代，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）、匈牙利数学家亚诺斯·波尔约（Janos Bolyai，1802～1860）和俄国数学家罗巴切夫斯基（Nicolai Ivanovich Lobachevsky，1792～1856）先后各自独立地创立了双曲几何。相应于欧几里得平行公理的等价命题“平面内过已知直线外一点，能且仅能作一条平行线”，双曲几何的平行公理是“平面内过已知直线外一点，至少存在两条平行线”。由于原始假设不同，很多定理也明显不同。例如，在双曲几何中，三角形的内角和恒小于二倍直角，如果两个三角形相似则必然全等，圆内接六边形的边大于此圆半径。
19世纪50年代，德国数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826～1866）选取本质上既不同于欧几里得几何也不同于双曲几何的平行公理，创立了椭圆几何，其最为简单直观的模型是球面几何。相应于欧几里得平行公理的等价命题“平面内过已知直线外一点，能且仅能作一条平行线”，椭圆几何的平行公理是“平面内过已知直线外任意一点都不存在平行线”。此外，前两种几何中的直线都是可以任意延长的（或者说长度是无限的），而在椭圆几何中直线长度都是有限的。
后人将双曲几何和椭圆几何称为非欧几何，它们的相继创立打破了欧几里得几何的一统天下。人们曾经认为欧几里得几何的公理和公设都是不证自明的，它们天然正确、别无选择。在非欧几何出现之后，人们惊讶地发现，依据截然不同乃至互相冲突的原始假设，可以建立在性质上完全不同但在逻辑上似乎都可以成立的几何，欧几里得几何的公理和公设不再被认为是不证自明的，三种几何的逻辑地位并无实质的不同，它们的无矛盾性（相容性，协调性，一致性）需要通过严格的逻辑过程分别加以确立。19世纪后期，双曲几何和椭圆几何都在欧几里得几何中找到了适当的模型，这意味着，只要欧几里得几何是无矛盾的，另外两种几何也将是无矛盾的。于是，问题最终归结为如何严格地证明欧几里得几何是无矛盾的。人们后来发现，这项工作的困难程度远远超出了最初的想象。
上述三种几何在性质上互不相容，逻辑上似乎又都可以成立，这迫使数学家重新思考数学公理（或者更一般地说数学理论）的本质。首先，数学公理不再被认为是不证自明的，更不是必然的，而是数学家基于某种考虑的人为选择。例如欧几里得几何的公理实际上基于人们关于现实世界的直观经验，即所谓“空间经验”，而这种经验明显地具有局限性，不仅不是普遍的，即使在局部意义上其恰当性的确立也不是显然的。也就是说，在任何意义上，它们的恰当性都需要以更为可靠的方式重新确立。其次，数学家们开始意识到，数学不同于物理学，数学理论所关注的并非事物在客观意义上的真伪，而是从某个或某些特定的前提必然会得到的结果，而这样的前提是否恰当则需要另加讨论。在一个公理化的数学体系中，所有命题，要么是原始假设（公理），要么是原始假设的推论，一个命题的真伪，一定是就相应的数学理论的公理系统而言的。于是问题的关键在于，在一个公理化的数学理论中，我们能否找到某种办法，证明由它的公理组出发所得到的全部命题都不会导致矛盾的结果。如果能够作出这样的证明，就说这样的数学理论是相容的或协调的。
简而言之，非欧几何的创立，不仅促使数学超越了欧几里得式的实质公理理论，也使人们的数学真理观发生了根本改变。它还使人们意识到，几何学的基础尚未建立在可靠的基础上。
从19世纪20年代开始，数学家们对数学几个主要分支逻辑基础的研究不断深化，其目的是清除数学中那些依赖直观的、含糊的概念、推理和命题，代之以逻辑上严格、清晰的概念、推理和命题，特别是为数学重建严格的基础。到19世纪末，代数学初步实现了由以算法为基本方法、以解方程为中心的古典代数向以公理化方法为基础、以研究代数结构为中心的近世代数的过渡（当然，真正意义上的近世代数或抽象代数还要等到埃米·诺特（Amalie Emmy Noether，1882～1935）及其合作者们的工作）；1874年，康托（Georg Cantor，1845～1918）创立集合论，最初只是为了研究函数展开为无穷级数时遇到的问题，到19世纪末很多数学家从中看到了数学统一以及严格奠基的前景；1899年，希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）《几何基础》的发表标志着几何学的公理化达到了新的水平；实数理论和极限理论的建立，使数学分析实现了算术化，其严格基础建立在自然数的可靠性上，皮亚诺（Giuseppe Peano，1858～1932）自然数公理系统给出了一个令人相当满意的构造。
自希腊时代以来，数学基础曾多次遭遇怀疑和挑战，有时是局部的，有时是全局性的。到19世纪末，以往关于数学基础最主要的问题和困难基本上都已经解决，却留下了两个极为重要的问题：集合论中的连续统假设和自然数公理系统的无矛盾性，1900年，希尔伯特在其著名的巴黎报告《数学问题》中把它们被列为需要优先解决的两个根本性问题。
3．数理逻辑的早期发展
从亚里士多德时代开始，数学和哲学中的推理论证都是以古典逻辑为基础展开的。古典逻辑使用自然语言进行推理，在很长时间里它被认为是一种理想的工具，但随着要讨论的问题越来越复杂，自然语言中词语的歧义性、表述的模糊性等问题逐渐显现出来，最早认识到这些问题并试图从根本上加以解决的是17世纪德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646～1716）。他认为，哲学中很多问题争论不休的原因是概念和问题的表述不清楚理解不一致而推理过程又不够严谨。于是他提出一个构想：通过建立一种“普遍文字”使哲学概念和命题符号化，使哲学推理变成逻辑演算。也就是说，用一种严格单义的符号串来表示思想，通过这些符号串的变换来表示推理和论证。他在“通向一种普遍文字”一文中写道：“我思考出，必然会创造出一种人类思想的字母，通过由它组成的联系和词的分析，其他一切都能被发现和判断。”在“综合科学序言”一文中他进一步说：“倘若我们能找到一些字或符号适宜于表述我们的全部思想，象算术表明数字或几何学的分析表明线那样明确和正确的话，我们就能在一切科目中，在它们符合推理的范围内，完成象在算术和几何学中所完成的东西。”“所有依靠推理的探究都要通过字的变换和某一种演算，它们会直接促进完美答案的发现。我们没有必要象今天所需要的那样绞尽脑汁，在已知的论据所容许的范围内，我们会确有把握地完成一切。”莱布尼茨上述构想的本质就是用符号化的人工语言取代自然语言，这正是数理逻辑的基本思想。莱布尼茨提出了少量基本概念（例如逻辑加法、乘法、等同、否定和空集）、关系（例如包含和等价）、公理和推演规则，并在此基础上推演出若干命题。因为这些工作，他被认为是数理逻辑的创始人，但他并未完成自己的计划，只做了少量逻辑推演，没有形成一个完整的逻辑系统。
1847年，英国逻辑学家布尔（George Boole，1815～1864）在《逻辑的数学分析 ─ 关于走向演绎推理》中构建了一种纯形式的逻辑系统，并在随后的《思维规律的研究》（1854）中作了改进，这个系统不仅将古典逻辑符号化，而且可以用于概率演算，后人将布尔构建的这个系统称为布尔代数，也叫逻辑代数。布尔在《逻辑的数学分析》一开头就阐明了逻辑演算的形式化特征：“熟悉符号代数理论现状的人们都知道，分析过程的有效性不依赖于对被使用符号所做的解释，而只依赖于它们的组合规律。对被假定的关系的真假没有影响的每个解释系统，都是同样可允许的，这样一来，同一个过程在一种解释方式之下可以表示关于数的性质问题的解法，在另一种解释方式之下，表示几何问题的解法，而在第三种解释方式之下，则表示力学或光学问题的解法……我们可以正当地规定一个真演算的下述确定性质，即它是一种依赖于使用符号的方法，它的组合规律是已知的和一般的，它的结果就是承认一致性的解释。对分析的现有形式规定一种量的解释是那些形式由以被决定的情况造成的结果，而不是分析的普遍条件。就是在这种一般原理的基础上，我的目的是要建立逻辑演算，我要为它在众所公认的数学分析的形式中取得一个位置，而不去考虑它目前在目的和手段方面是否一定是无与伦比的。”（转引自威廉·涅尔、玛莎·涅尔《逻辑学的发展》，张家龙、洪汉鼎译，北京：商务印书馆，1985，第514～515页）
布尔只是部分地实现了莱布尼茨的理想。20多年后，德国数学家、逻辑学家弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848～1925）试图找到一个能够包含通常数学中全部演绎推理的逻辑系统，为此他必须保证所有的推理过程都清晰严谨，但发现自然语言存在明显缺陷，例如不够精确、往往存在歧义、经常依赖直观等，难以承担这样的任务，因此需要创造一种消除了上述缺陷的人工语言（弗雷格称之为概念文字），无论数学推理还是哲学论辩都可以借助这样的人工语言达到足够的清晰严谨，而这正是莱布尼茨最初的理想。1879年，弗雷格出版了一本篇幅不大的书《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》，这是现代数理逻辑的开山之作。
如前所述，从19世纪20年代到19世纪末，数学家们为实现实数理论、分析基础和几何基础的严格化不断作出努力并不断取得进展，但离实现最终目标尚有很大距离。弗雷格的上述工作正是为了从整体上和根本上解决数学基础问题。其基本思路是：第一，为了最终将数学置于完全稳固的基础之上，他试图将数学还原为逻辑，这使他成为后来以罗素为主要代表的逻辑主义的先驱。第二，为了将数学还原为逻辑，他在《概念文字》中构造了一种形式语言，并以这种语言建立了狭义谓词演算系统，从而提供了一种严格的逻辑工具，这使他成为现代数理逻辑的开创者。第三，运用他所创造的逻辑工具处理、讨论算术的基本概念和方法，为以逻辑系统来构造算术奠定基础。
弗雷格在《概念文字》中使用的符号并不好因而没有被后人采用，他所构建的数理逻辑系统也较为粗略，但无论如何，随着后来集合论的公理化并成为数理逻辑的一个组成部分，进入20世纪后，数学基础研究所有重要工作都是在这个平台上进行的。以布尔代数作为准备，以弗雷格《概念文字》为开端，经过罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872～1970）与怀特海（Alfred North Whitehead，1861～1947）、希尔伯特等人的努力，到1930年以前，数理逻辑已经蔚为大观，哥德尔正是在数理逻辑的框架内研究问题并最终得出他的不完全性定理的。
4．希尔伯特问题与希尔伯特纲领
德国数学家希尔伯特与法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincare，又译为彭加勒，1854～1912）被公认为19、20世纪之交最伟大的两位数学家，他的几项工作直接引导哥德尔去研究最终获得不完全性定理的有关问题。
（1）《几何基础》
19世纪后期，如何为欧几里得几何奠定严格的逻辑基础成为几何基础研究中的核心问题。人们发现，两千多年来被视为数学严格性典范的欧几里得几何其实是很不严格的，因为在很多证明中都要借助图形的直观性质，否则相应的推理就会失去依据，其原因在于欧几里得给出的用于描述几何对象的公设很不完备，仅涉及点、线、面的关联性（结合性，例如两点是否重合、点在线上、线在面上等）和平行性，而在命题证明中经常会涉及图形是否是连续的、可移动的以及顺序关系（例如点A在点B和点C之间，某射线在某角内部或外部等）。人们注意到，欧几里得《原本》第一篇命题1要求在给定线段上作等边三角形，作图过程默认了圆弧的连续性，证明有关三角形全等的命题默认了图形可移动。还有数学家构造了因缺乏顺序公理而导致的悖论。这些工作表明，为实现欧几里得几何的合理奠基，首先需要为它增加公理，然后研究扩大后的公理系统是否协调。1882年，德国数学家帕什（Moritz Pasch，1843～1930）在他的《新几何学讲义》中重新论述了欧几里得几何中的结合公理，并且给出和讨论了顺序公理与合同公理（确保图形可移动）。稍后皮亚诺也讨论了结合公理与顺序公理。
1899年，希尔伯特在上述工作的基础上完成并出版了《几何基础》。他在导言中写道：“几何和算术一样，它的逻辑结构只需要少数的几条简单的基本原理做基础。这些基本原理叫做几何公理。建立几何的公理和探究它们之间的联系，是一个历史悠久的问题；关于这问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著。这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”“本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的几何系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”全书基于三个基本元素、三个基本关系和五组公理构建了新的欧几里得几何公理系统。三个基本元素分别是点、直线和平面，三个基本关系是结合关系（属于）、顺序关系（介于）和合同关系（合同于），它们共同构成这一系统的原始概念。它们是不定义的，它们的性质被五组公理描述和限定。严格说来，在这个系统里所研究的只有这三个对象和它们之间的这三种关系，所有其余的概念都可以在此基础上定义出来。五组公理分别是，第一组关联公理（结合公理，从属公理），共8条；第二组顺序公理（次序公理），共4条；第三组合同公理（全合公理，全等公理），共5条；第四组平行公理，1条；第五组连续公理，共2条。
希尔伯特最初尝试用模型法证明完善后的欧几里得几何公理系统的相容性，但发现无法完成，于是构建了一个与之等价的实数公理系统，从而将欧几里得几何公理系统的相容性问题转化为实数公理系统的相容性问题。另一方面，从18世纪末开始，数学家们已经陆续证明，复数可以由实数来定义，实数可以由有理数来定义，有理数可以由整数来定义，整数可以由自然数来定义。于是，只要为自然数建立适当的公理系统并证明其相容性，整数、有理数、实数和复数就都可以获得严格的逻辑基础；由此可以自然地导出上述实数公理系统的相容性，从而也就证明希尔伯特构建的欧几里得几何公理系统是相容的。与之相关的另一个重要结果是，到19世纪70年代，微积分（以实变量的实值函数为研究对象）已经被奠基于极限理论和实数理论之上，最终依赖于实数理论的相容性，如前所述，它被归结为自然数理论的相容性。
至此我们看到，到19世纪末，几何基础、微积分基础（或者更一般的说法：分析基础）以及数系的基础，最终都归结为建立一个恰当的自然数公理系统并证明其相容性的问题。
19世纪80年代，三位数学家相继发表了他们的自然数理论。首先是德国数学家戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831～1916），他的《什么是数以及它们应该是什么》（1888）主要工作完成于1872～1878年。作为集合论创始人康托的朋友，他借助集合概念描述自然数的性质，其中对自然数特征的描述涵盖了后来所说的皮亚诺自然数公理系统的基本内容。在戴德金的著作出版之前，弗雷格出版了《算术基础》（1884），试图从逻辑系统中导出算术系统。稍晚于戴德金，意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano，1858～1932）在其1889年的著作《算术原理新方法》中借助5个原始概念（集合，属于，1，自然数，后继）和9条公理描述了一个自然数公理系统，后来被精简为5条公理，即通常所说的皮亚诺自然数公理系统：
1. 1是一个自然数。
2. 如果a是一个自然数，那么a的后继a+1也是一个自然数。
2. 1不是任何其他自然数的后继。
4. 如果 a与 b的后继相等，则 a与 b也相等。
5. 若一个由自然数组成的集合 S含有1，又若当 S含有任一数 a时，它一定也含有 a的后继，则 S就含有全部自然数。
从经验层面上看，这组公理恰当地概括了数学家们所熟悉的自然数的基本性质，所有已经证明的关于自然数的结果都可以基于这个公理系统推导出来。于是，上述自然数公理系统的相容性问题成为数学基础中至关重要的问题。
（2）《数学问题》
1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的报告，其中提出了他认为在新世纪需要优先解决的23个重大问题，其中第一问题是“康托的连续统基数问题”，第二问题是“算术公理的相容性”，他说：
“在研究一门科学的基础时，我们必须建立一套公理系统，它包含着对这门科学基本概念之间所存在的关系的确切而完备的描述。如此建立起来的公理同时也是这些基本概念的定义；并且，我们正在检验其基础的科学领域里的任何一个命题，除非它能够从这些公理通过有限步逻辑推理而得到，就不能认为是正确的。更进一步的研究会提出这样的问题：这组公理中个别公理的确定陈述是否以某种方式相互依赖呢？如果我们希望达到一种全体相互独立的公理系统，这组公理是否因此就不能包含共通的部分而必须将那些共同部分隔离出去？”（引自邓东皋等编《数学与文化》第229页）
“但是，我想首先提出下述的问题，在关于公理所能提出的许多问题中，下述问题最为重要，这问题是：证明这些公理不互相矛盾，就是说，以它们为基础而进行的有限步骤的逻辑推演，决不会导致矛盾的结果。在几何学中，公理相容性的证明可以这样来实现，即构造一个适当的数域，使得域中数字之间的类似关系与几何公理相对应。几何公理演绎中的任何矛盾，必定能在该数域的算术中得到识别。这样，所要求的几何公理相容性的证明，便归结为算术公理的相容性定理。”（引自邓东皋等编《数学与文化》第229～230页）
“另一方面，为了证明算术公理的相容性，就需要一种直接的方法。算术公理实质上无非就是熟知的运算规则，再加上连续公理。最近我把所有这些公理集合起来，同时用两条较为简单的公理来代替连续公理，这两条公理就是众所周知的阿基米德公理和另一条大体上如下所述的新公理：数所形成的系统，当它满足所有其他公理时，不可能再作进一步的扩充（完备性公理）。我坚信，通过对无理数理论中熟知的推理方法的仔细研究和适当变更，一定能够找到算术公理相容性的直接证明。”（引自邓东皋等编《数学与文化》第230页）
在这里，希尔伯特首先概述了当时数学界对数学基础问题的基本看法，然后指出自然数公理系统相容性问题至关重要，并坚信一定能够找到它的直接证明。希尔伯特在当时已经被公认为国际数学界的领袖之一，《数学问题》中提出的问题立刻引起全世界数学家的高度关注，希尔伯特对找到自然数公理系统相容性证明的信心鼓舞了一批有实力的数学家致力于攻克这一难题。
（3）罗素悖论与希尔伯特纲领
1902年，英国数学家、哲学家罗素发现了后来以他的名字命名的著名悖论。他后来给出了这个悖论的通俗形式——理发师悖论：某村的理发师声称，他当然不为自己刮脸的人刮脸，但却为村中所有自己不刮脸的人刮脸。一天他发生了疑问：他是否应当为自己刮脸。假如他自己刮脸，则按他声明的前一半，他就不应当为自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则按他声言的后一半，他又应当为自己刮脸。这个悖论的严重性在于，它仅仅涉及使用了集合论中最基本的概念“集合”和最基本的关系“属于”，由于集合论在当时已经成为数学的重要基础，它意味着在数学的多个领域都可以构造类似的悖论，因而动摇了经典数学的根基。在随后的30多年中，数学基础问题成为数学中最为迫切需要解决的问题之一，从而更加凸显了希尔伯特第一、第二问题的极端重要性。
为消除罗素悖论并进而为全部数学奠定可靠的基础，形成了逻辑主义、形式主义、直觉主义和集合论公理化四大学派，其中形式主义以希尔伯特为主要代表，其处理数学基础问题的形式主义计划是：将数学划分为若干领域，其中一些领域（如几何学）以另外一些更为基本的领域（如算术）作为其逻辑基础，如果能够证明每一个这样的基本领域都是相容的，整个数学的相容性就被证明了。显然，第一个需要处理的基本领域就是算术。
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